Estratégias Mistas

Quando um jogo não possui Equilíbrio de Nash em estratégias puras (como Matching Pennies), ou quando se deseja analisar toda a gama de comportamentos possíveis, estendemos o espaço de escolhas para incluir aleatorização.

Definição de Estratégia Mista

Seja $S_i = \{s_{i1}, ..., s_{ik}\}$ o conjunto de estratégias puras do jogador $i$. Uma estratégia mista $\sigma_i$ é uma distribuição de probabilidade sobre $S_i$. Formalmente, $\sigma_i \in \Delta(S_i)$, onde $\Delta(S_i)$ é o simplex de probabilidade:

$$\sigma_i(s_{ij}) \geq 0 \quad \text{e} \quad \sum_{j = 1}^k \sigma_i(s_{ij}) = 1$$

Utilidade Esperada

Para avaliar perfis de estratégias mistas $\sigma = (\sigma_1, ..., \sigma_n)$, assumimos que os jogadores maximizam a Utilidade Esperada (von Neumann-Morgenstern). A utilidade do jogador $i$ para um perfil misto $\sigma$ é:

$$u_i(\sigma) = \sum_{s \in S} \left( \prod_{j = 1}^n \sigma_j(s_j) \right) u_i(s)$$

Teorema de Existência de Nash (1950)

Teorema: Todo jogo finito (número finito de jogadores e estratégias finitas) possui pelo menos um Equilíbrio de Nash, possivelmente em estratégias mistas.

Este teorema, provado via Teorema do Ponto Fixo de Kakutani, garante que a análise de equilíbrio nunca é vazia para jogos finitos.

Cálculo e o Lema da Indiferença

Uma propriedade fundamental dos equilíbrios mistos é que, para um jogador estar disposto a randomizar entre duas ou mais estratégias puras, ele deve ser indiferente entre elas, dadas as estratégias dos oponentes.

Se um jogador $i$ joga uma estratégia mista $\sigma_i^*$ que atribui probabilidade positiva às estratégias puras $s_A$ e $s_B$, então deve ser verdade que:

$$E[u_i(s_A, \sigma^*_{-i})] = E[u_i(s_B, \sigma^*_{-i})] = u_i(\sigma^*)$$

Se $s_A$ gerasse payoff esperado maior que $s_B$, o jogador racional deslocaria toda a probabilidade para $s_A$, abandonando a mistura.

Exemplo Prático (Chicken Game): Suponha o jogo:

• (D, D) = 0, 0
• (D, C) = 2, 1
• (C, D) = 1, 2
• (C, C) = 0, 0 (simplificado para empate destrutivo ou neutro)

Para encontrar o equilíbrio misto, o Jogador 1 deve escolher uma probabilidade $p$ de jogar D tal que deixe o Jogador 2 indiferente entre jogar C ou D.

A condição de indiferença é a ferramenta primária para resolver tais jogos algebricamente.