Batalha dos Sexos

Descrição do Problema

Um casal quer sair junto, mas têm preferências diferentes sobre o lugar.

• Ela prefere Ópera (O).
• Ele prefere Futebol (F).
• Ambos preferem sair juntos a sair sozinhos para seus lugares favoritos.
• Pior cenário: desencontro.

Modelagem Formal

• Payoffs:
  • (O, O): Ela ganha 3, Ele ganha 2.
  • (F, F): Ela ganha 2, Ele ganha 3.
  • (O, F) ou (F, O): Desencontro, ambos ganham 0.

Matriz:

Ela \ Ele	Ópera (O)	Futebol (F)
Ópera	$3, 2$	$0, 0$
Futebol	$0, 0$	$2, 3$

Análise de Equilíbrio

Equilíbrios Puros

• $(O, O)$: Ninguém quer desviar (desviar leva a 0).
• $(F, F)$: Ninguém quer desviar.

Há dois equilíbrios de Nash puros. Problema de coordenação.

Equilíbrio Misto

Vamos encontrar as probabilidades $p$ (Ela joga O) e $q$ (Ele joga O) que deixam os jogadores indiferentes.

Para Ele (Coluna) ser indiferente:

$$E[U_{Ele}(O)] = E[U_{Ele}(F)]$$ $$p(2) + (1-p)(0) = p(0) + (1-p)(3)$$ $$2p = 3 - 3p$$ $$5p = 3 \implies p = 3/5 = 0.6$$

$\therefore$ Ela deve jogar Ópera com 60% de chance.

Para Ela (Linha) ser indiferente:

$$E[U_{Ela}(O)] = E[U_{Ela}(F)]$$ $$q(3) + (1-q)(0) = q(0) + (1-q)(2)$$ $$3q = 2 - 2q$$ $$5q = 2 \implies q = 2/5 = 0.4$$

$\therefore$ Ele deve jogar Ópera com 40% de chance.

Equilíbrio Misto: $(\sigma_{Ela}=(0.6, 0.4), \sigma_{Ele}=(0.4, 0.6))$.
Payoff Esperado no Misto: $E[U] = 0.6 \times 2 = 1.2$.
Note que $1.2$ é pior que qualquer coordenação pura ($3$ ou $2$). A falta de coordenação custa caro.

Simulação de Estratégia Mista