Módulo I: Fundamentos da Decisão Estratégica
Introdução e Definição Formal
A Teoria dos Jogos é o estudo matemático da interação estratégica entre agentes racionais. Diferente da teoria da decisão clássica, onde um agente otimiza suas escolhas em um ambiente estático ou probabilístico (natureza), na teoria dos jogos o resultado de uma escolha depende fundamentalmente das escolhas de outros agentes, que por sua vez também estão otimizando suas decisões levando em conta a presença dos demais.
Formalmente, um jogo em forma normal é definido pela tupla $G = \langle N, (S_i)_{i \in N}, (u_i)_{i \in N} \rangle$, onde:
- $N = \{1, 2, ..., n\}$ é o conjunto finito de jogadores.
- $S_i$ é o conjunto de estratégias puras disponíveis para o jogador $i$. O espaço de perfis de estratégias é dado pelo produto cartesiano $S = S_1 \times S_2 \times ... \times S_n$.
- $u_i: S \rightarrow \mathbb{R}$ é a função de utilidade (ou payoff) do jogador $i$, que mapeia cada perfil de estratégias $s = (s_1, ..., s_n) \in S$ para um valor real representando a preferência do agente sobre aquele resultado.
Racionalidade e Conhecimento Comum (Common Knowledge)
A análise padrão assume que os jogadores são racionais, o que implica duas condições:
- Possuem preferências completas e transitivas sobre os resultados.
- Buscam maximizar o valor esperado de sua função de utilidade.
Além disso, assume-se frequentemente que a estrutura do jogo e a racionalidade dos jogadores são de conhecimento comum. Isso significa que:
- Todos sabem as regras do jogo.
- Todos sabem que todos sabem as regras.
- Todos sabem que todos sabem que todos sabem... (ad infinitum).
Classificação de Jogos
Os jogos podem ser classificados segundo diversas dimensões estruturais:
- Estáticos vs. Dinâmicos: Em jogos estáticos (ou simultâneos), os jogadores decidem sem observar a escolha dos outros. Em jogos dinâmicos (ou sequenciais), há uma ordem temporal e observação prévia de ações.
- Informação Completa vs. Incompleta: Refere-se ao conhecimento sobre as funções de payoff. Se algum jogador desconhece o payoff de outro, o jogo é de informação incompleta.
- Informação Perfeita vs. Imperfeita: Refere-se à observabilidade das ações. Se um jogador, ao decidir, desconhece ações passadas (ex: numa rodada simultânea), há informação imperfeita.
- Cooperativos vs. Não-Cooperativos: O foco deste curso é na teoria não-cooperativa, onde as unidades de decisão são indivíduos e contratos vinculantes só são possíveis se modelados explicitamente como parte das regras do jogo.
Representação Matricial (Bimatriz)
Para jogos finitos de 2 jogadores ($N=\{1, 2\}$), a representação mais comum é a matricial. Se o Jogador 1 (Linha) tem estratégias $S_1 = \{T, B\}$ e o Jogador 2 (Coluna) tem $S_2 = \{L, R\}$, o jogo é representado como:
| 1 \ 2 | L | R |
|---|---|---|
| T | $u_1(T,L), u_2(T,L)$ | $u_1(T,R), u_2(T,R)$ |
| B | $u_1(B,L), u_2(B,L)$ | $u_1(B,R), u_2(B,R)$ |
Cada célula contém o par de payoffs $(u_1, u_2)$. O primeiro valor sempre corresponde ao jogador da linha, e o segundo ao jogador da coluna.
O Dilema do Prisioneiro: Análise Preliminar
O exemplo canônico para ilustrar o conflito entre racionalidade individual e eficiência coletiva é o Dilema do Prisioneiro.
Seja $S_1 = S_2 = \{Cooperar, Trair\}$. A matriz de payoffs típica é:
| Cooperar (C) | Trair (D) | |
|---|---|---|
| Cooperar (C) | $3, 3$ | $0, 5$ |
| Trair (D) | $5, 0$ | $1, 1$ |
Observe a estrutura de incentivos para o Jogador 1:
- Se 2 joga $C$, 1 prefere $D$ ($5 > 3$).
- Se 2 joga $D$, 1 prefere $D$ ($1 > 0$).
A estratégia $D$ é estritamente dominante para ambos. A racionalidade individual dita que ambos escolham $D$, resultando no perfil $(D, D)$ com payoffs $(1, 1)$. No entanto, o perfil $(C, C)$ geraria $(3, 3)$, que é estritamente melhor para ambos (Pareto-Eficiente).
Esta "tragédia" demonstra que, em interações estratégicas, o resultado de equilíbrio não é necessariamente eficiente. A busca individual pelo melhor resultado pode levar a um resultado socialmente inferior.
Leituras Recomendadas
- Fudenberg, D., & Tirole, J. Game Theory. MIT Press. (Capítulo 1)
- Osborne, M. J. An Introduction to Game Theory. Oxford. (Capítulos 1 e 2)