Informação Incompleta

Até agora, assumimos que a estrutura do jogo (quem joga e quais os payoffs) é de conhecimento comum. Porém, na vida real, jogadores frequentemente desconhecem características privadas de seus oponentes (custos, avaliação do bem, aversão ao risco, etc.).

John Harsanyi (1967) propôs um método para modelar essa incerteza transformando informação incompleta em informação imperfeita.

Tipos e Natureza

Modelamos a incerteza introduzindo um jogador fictício chamado "Natureza", que sorteia os "tipos" de cada jogador no início do jogo.

• Seja $\Theta_i$ o conjunto de tipos possíveis do jogador $i$.
• O tipo $\theta_i \in \Theta_i$ determina a função de payoff do jogador $u_i(s, \theta_i)$.
• Cada jogador conhece seu próprio tipo $\theta_i$, mas conhece apenas a distribuição de probabilidade $p(\theta_{-i})$ sobre os tipos dos oponentes.

Equilíbrio Bayesiano de Nash (BNE)

Uma estratégia $s_i(\theta_i)$ agora é uma função que mapeia cada tipo possível para uma ação. Um perfil de estratégias $s^*$ é um Equilíbrio Bayesiano de Nash se, para todo jogador $i$ e todo tipo $\theta_i$, a ação escolhida maximiza o payoff esperado dada a distribuição de tipos dos oponentes e suas estratégias de equilíbrio.

$$s_i^*(\theta_i) \in \arg\max_{s_i} \sum_{\theta_{-i}} p(\theta_{-i} | \theta_i) u_i(s_i, s^*_{-i}(\theta_{-i}), \theta_i, \theta_{-i})$$

Jogos de Sinalização (Signaling Games)

Uma classe importante de jogos bayesianos dinâmicos são os jogos de sinalização.

1. A Natureza escolhe um tipo $\theta$ para o Emissor (Sender).
2. O Emissor observa $\theta$ e escolhe uma mensagem $m$.
3. O Receptor (Receiver) observa $m$ (mas não $\theta$) e escolhe uma ação $a$.

O equilíbrio depende da inferência que o Receptor faz sobre o tipo do Emissor ao observar $m$.

• Equilíbrio Separador: Tipos diferentes enviam mensagens diferentes. O Receptor consegue distinguir perfeitamente $\theta$ ao ver $m$. A informação é revelada.
• Equilíbrio Pooling (Agrupador): Todos os tipos enviam a mesma mensagem. O Receptor não aprende nada novo e mantém sua crença a priori (prior belief).

Esta estrutura explica fenômenos como educação como sinal de produtividade (Spence), garantias de produtos e pavoneamento biológico.