Jogos Repetidos

Muitas interações no mundo real não ocorrem apenas uma vez. Em um Jogo Repetido, o mesmo jogo de estágio é jogado $T$ vezes. A repetição introduz a possibilidade de reputação e punição, permitindo a sustentação de cooperação que não seria possível em uma única interação.

Finitos vs Infinitos

• Horizonte Finito ($T \lt \infty$): Se o jogo tem um fim conhecido, e o jogo de estágio tem um único NE, a indução retroativa dita que o NE será jogado em todas as rodadas. A cooperação desmorona desde o início.
• Horizonte Infinito ($T = \infty$): Se o jogo continua com probabilidade positiva a cada rodada (ou é percebido como tal), a lógica da indução retroativa não se aplica da mesma forma.

Fator de Desconto ($\delta$)

Os jogadores descontam payoffs futuros por um fator $\delta \in (0, 1)$. Um fluxo de payoffs $u_0, u_1, u_2...$ tem valor presente:

$$V = \sum_{t = 0}^{\infty} \delta^t u_t$$

Quanto maior $\delta$, mais o jogador valoriza o futuro ("paciência").

Estratégias de Gatilho (Trigger Strategies)

Para sustentar a cooperação no Dilema do Prisioneiro Repetido, consideramos estratégias condicionais:

• Grim Trigger: Coopere. Se o oponente trair uma única vez, traia para sempre (punição máxima).
• Tit-for-Tat: Coopere na primeira rodada. Nas seguintes, copie a ação anterior do oponente.

A cooperação sustentada via Grim Trigger é um SPE se o ganho de curto prazo da traição for menor que a perda de longo prazo da punição.

Condição de sustentabilidade:

$$\frac{\text{Payoff(Coop)}}{1 - \delta} \geq \text{Payoff(Trair)} + \frac{\delta \times \text{Payoff(Punição)}}{1 - \delta}$$

Simplificando, a cooperação é possível se $\delta$ for suficientemente alto (jogadores pacientes).

O Folk Theorem (Teorema Popular)

O Folk Theorem (Friedman, 1971; Fudenberg & Maskin, 1986) generaliza esse resultado:

Qualquer perfil de payoffs que seja viável e individualmente racional (acima do payoff minimax de segurança) pode ser sustentado como um Equilíbrio Perfeito em Subjogos em um jogo infinitamente repetido, desde que o fator de desconto $\delta$ seja suficientemente próximo de 1.

Implicação: A racionalidade não leva necessariamente à traição ou ao ótimo único. Em jogos repetidos, existe uma infinidade de equilíbrios possíveis, variando da cooperação total à guerra total. A "sombra do futuro" permite, mas não garante, a ordem social.